若序列平稳，则往下进行，否则进行差分处理使序列变平稳
时间序列的预处理
特征统计量
http://classroom.dufe.edu.cn/spsk/c102/wlkj/CourseContents/Chapter10/10_03_01.htm
宽平稳时间序列(只要求二阶平稳即可)
若${X(t)}$满足如下三个条件，则称${X(t)}$为宽平稳时间序列（弱平稳/二阶平稳）
(1)任取$t\in T$,有$E{X_t}^2<\infty$
(2)任取$t\in T$,有$EX_t=\mu$,$\mu$为常数
(3)任取$t,s,k \in T$,且$k+s-t \in T$,有$\gamma(t,s)=\gamma(k,k+s-t)$
平稳时间序列的统计性质
(1)$EX_t=\mu$,任意$t \in T$
(2)$\gamma(t,s)=\gamma(k,k+s-t)$
$\gamma(s-t)=\gamma(t,s)$,任意$t,s \in T $
(3)$DX_t=\gamma(t,t)=\gamma(0)$
延迟$k$阶自协方差函数$\gamma(k)=\gamma(t,t+k)$
延迟$k$阶自相关系数$\rho_k=\frac{\gamma(t,t+k)}{\sqrt{DX_tDX_{t+k}.}.}=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}$，3个性质为“规范性”,“对称性”以及“非负定性”
一个平稳时间序列唯一确定其自相关系数，反之不成立
平稳性检验
单位根检验、时序图检验、自相关图检验
纯随机性检验
纯随机序列的定义：
(1)任取$t \in T$,有$EX_t=\mu$
(2)任取$t,s \in T$,有
$\gamma(t,s)=\sigma^2 ,t=s$
$\gamma(t,s)=0,t!=s$
白噪声序列(white noise series)是平稳时间序列，但同时也是纯随机序列，所以没有研究价值
平稳时间序列分析(key!)
$p$阶差分与$k$步差分
延迟算子表示差分运算
看课本P41
线性差分方程的解法https://fuhanshi.github.io/2018/09/30/diff/
AR模型
$AR(p):x_t=\psi_0+\psi_1x_{t-1}+\psi_2x_{t-2}+…+\psi_px_{t-p}+\epsilon_t$
平稳性判别：
（1）特征根判别
$AR(p)$模型平稳的充要条件是其$p$个特征根都在单位圆内
（2）平稳域判别
$AR(1)$模型平稳的充要条件是$|\psi_1|<1$
$AR(2)$模型平稳的充要条件是${\psi_1,\psi_2| |\psi_2|<1,且\psi_2+\psi_1<1,\psi_2-\psi_1<1}$
统计性质：
(1)均值
(i)普通$AR(p)模型$：$\mu=\frac{\psi_0}{1-\psi_1-\psi_2-…-\psi_p}$
(ii)中心化的$AR(p)模型$：$\mu=0$
(2)方差：
$AR(1):Var(X_t)=\frac{\sigma_{\epsilon}^2}{1-\psi_1^2}$
$AR(2):\frac{1-\psi_2}{(1+\psi_2)(1-\psi_1-\psi_2)(1+\psi_1-\psi_2)}\sigma_{\epsilon}^2$
(3)自协方差函数：
$AR(1):\gamma_k=\psi_1^k \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{1-\psi_1^2},任意k>=1$
$AR(2):$
$\gamma_0=\frac{1-\psi_2}{(1+\psi_2)(1-\psi_1-\psi_2)(1+\psi_1-\psi_2)}\sigma_{\epsilon}^2$
$\gamma_1=\frac{\psi_1\gamma_0}{1-\psi_2}$
$\gamma_k=\psi_1\gamma_{k-1}+\psi_2\gamma_{k-2},k>=2$
(4)自相关系数:
$AR(1):\rho_k=\psi_1^k,k>=0$
$AR(2):$
$\begin{eqnarray}
\rho_k=
\begin{cases}
1 &k=0\
\frac{\psi_1}{1-\psi_2} &k=1\
\psi_1\rho_{k-1}+\psi_2\rho_{k-2} &k>=2
\end{cases}
\end{eqnarray}
$
$AR(p)$模型的自相关系数的两个性质：(1)拖尾性;(2)呈指数衰减
(2)偏自相关系数:
$AR(1):$
$\begin{eqnarray}
\psi_{kk}=
\begin{cases}
\psi_1 &k=1\
0 &k>=1
\end{cases}
\end{eqnarray}
$
$AR(2):$
$\begin{eqnarray}
\psi_{kk}=
\begin{cases}
\frac{\psi_1}{1-\psi_2} &k=1\
\psi_2 &k=2\
0 &k>=3
\end{cases}
\end{eqnarray}
$
MA模型
$MA(q):x_t=\mu+\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\theta_2\epsilon_{t-2}-…-\theta_q\epsilon_{t-q}$ ($\mu=0$时为中心化模型)
统计性质：
(1)均值：
普通的：$EX_t=\mu$
中心化$MA(q)$模型的均值为0
(2)方差：
$Var(X_t)=(1+\theta_1^2+\theta_2^2+…+\theta_q^2)\sigma_{\epsilon}^2$
(3)自协方差函数：
$\begin{eqnarray}
\gamma_k=
\begin{cases}
(1+\theta_1^2+\theta_2^2+…+\theta_q^2)\sigma_{\epsilon}^2 &k=0\
\frac{(-\theta_k+\sum_{i=1}^{q-k}\theta_i\theta_{k+i})}{1+\theta_1^2+…+\theta_q^2}\sigma_{\epsilon}^2 &1<=k<=q\
0 &k>q
\end{cases}
\end{eqnarray}
$
(4)自相关系数：
$MA(1):$
$\begin{eqnarray}
\rho_k=
\begin{cases}
1 &k=0\
\frac{-\theta_1}{1+\theta_1^2} &k=1\
0 &k>=2
\end{cases}
\end{eqnarray}
$
$MA(2):$
$\begin{eqnarray}
\rho_k=
\begin{cases}
1 &k=0\
\frac{-\theta_1+\theta_1\theta_2}{1+\theta_1^2+\theta_2^2} &k=1\
\frac{-\theta_2}{1+\theta_1^2+\theta_2^2} &k=2\
0 &k>=3
\end{cases}
\end{eqnarray}
$
MA模型的可逆性判别：
$MA(1):{\theta_1|-1<\theta_1<1}$
$MA(2):{\theta_1,\theta_2| |\theta_2|<1,且\theta_2+\theta_1<1,\theta_2-\theta_1<1}$
偏自相关系数：
$MA(1):$
$\psi_{11}=\rho_1=\frac{-\theta_1}{1+\theta_1^2}$
$\psi_{22}=\frac{-\theta_1^2}{1+\theta_1^2+\theta_2^4}$
$\psi_{33}=\frac{-\theta_1^3}{1+\theta_1^2+\theta_1^4+\theta_1^6}$
通式为$\psi_{kk}=\frac{-\theta_1^k}{\sum_{j=0}^{k}}\theta_1^{2j},k>=1$
ARMA模型
$ARMA(p,q):x_t=\psi_0+\psi_1x_{t-1}+\psi_2x_{t-2}+…+\psi_px_{t-p}+\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\theta_2\epsilon_{t-2}-…-\theta_q\epsilon_{t-q}$
平稳性：$AR(p)$部分可逆即可逆
可逆性：$MA(q)$部分可逆即可逆
统计性质：P64,65
模型识别规则
AR(p)：自相关系数$\rho_k$拖尾，偏自相关系数$\psi_{kk}$是p阶截尾
MA(q)：自相关系数$\rho_k$是q阶截尾，偏自相关系数$\psi_{kk}$拖尾
ARMA(p,q)：自相关系数$\rho_k$拖尾，偏自相关系数$\psi_{kk}$也拖尾
