黎曼函数的连续性

黎曼函数的连续性

黎曼函数，即

$$R(x)=\begin{cases}
0&x为无理数\
\frac1{q}&x=\frac{p}{q},p,q为正整数
\end{cases}$$
黎曼函数周期为１，所以只研究区间$[0,1]$的性质即可

性质：黎曼函数在区间$[0,1]$内的极限处处为零

换句话说，黎曼函数在$[0,1]$上的无理点处处连续，在有理点间断.

下面我们来证明之~

证：对于有理数来说，可以写成$\frac{p}{q}$的既约真分数形式

$x=0$可以写成$x=\frac01$，即$R(0)=1$.　

所以，在$[0,1]$上，分母为1的有理点(既约)只有两个：$\frac01$和$\frac11$　

分母为2的有理点只有一个：$\frac12$　

分母为3的有理点只有两个：$\frac13$和$\frac23$　

分母为4的有理点只有两个：$\frac１４$和$\frac34$

分母为5的有理点只有四个：$\frac15$,$\frac25$,$\frac35$和$\frac45$

…

总之，对任意自然数$k$，分母不超过$k$的有理点个数是有限的

设$x_0$是$[0,1]$内任意一点，对任意给定的$\epsilon>0$，设$k=[\frac{1}{\epsilon}]$，因为分母不超过$k$的有理点个数有限，设它们为$r_1,r_2,…,r_n$.

令$\delta=min{[r_i-x_0]}$，其中$1<=i<=n,r_i!=x_0$

从而$\delta>0$　

当$0<|x-x_0|<\delta$时，若$x$是无理数，则$R(x)=0$，若$x$为有理数，则其分母一定大于$k=[\frac{1}{\epsilon}]$(因为…)，于是$R(x)<=\frac{1}{[\frac{1}{\epsilon}]+1}<\epsilon$,因此成立$|R(x)-0|<\epsilon$.

此即说明$R(x)$在$x_0$的极限为0（$x_0=0$时是指右极限，$x_0=1$时是指左极限）.根据$R(x)$的周期性，对一切$x_0属于(-\infty,+\infty)$成立$lim_{x{\rightarrow}x_0}R(x)=0$,证毕.