知识梳理
一些基本概念：
本金：每项业务开始时投资的金额.
积累值（终值）：业务在一定时间后回收到的总金额称为该时刻的积累值，与本金与投资日算起的时间长度有关.
积累函数$a(t)$又叫t期积累因子，与之相对的是t期折现因子$v(t)$ ，并且有$a(t)=v^-(t)$ .
现值只与该时点以后的款项有关，积累值只与该时点以前的款项有关.
第$n$期利息：$I_n=A(n)-A(n-1)$，$n>=1,n$是整数.
实际利率
第$n$期的实际利率$i_n=\frac{I_n}{A_{n-1}.}$.
单利：$a(t)=1+it$ ，$i_n=\frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}=\frac{(1+in)-(1+i(n-1))}{1-i(n-1)}=\frac{i}{1+i(n-1)}$
复利：$a(t)=(1+i)^t$，$i_n=\frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}=\frac{(1+i)^n-(1+i))^{n-1}}{(1+i)^{n-1}.}=i$
为使得获利最大：
当$t>=1$时，$(1+i)^t>=1+it$，选复利.
当$t<=1$时，$(1+i)^t<=1+it$，选单利.
实际贴现率
定义：一个度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额的比值，用$d$表示.
第$n$期的实际贴现率$d_n=\frac{I_n}{A_n}$.
公式：$v=a^-(1)=1-d$
复利场合的贴现率：$a(n)=(1+i)^n$，$d_n=\frac{a(n)-a(n-1)}{a(n)}=\frac{i}{1+i}$，又叫做
复贴现
单利场合的贴现率：$a(n)=1+ni$，$d_n=\frac{d}{1-(n-1)d}$
名义利率：设每期付$m$次利息的名义利率为$i^{(m)}$，则实际利率（每$\frac1m$期）为$\frac{i^{(m)}.}{m}$，通过$(1+i)=(1+\frac{i^{(m)}.}{m})^m$可以求得实际利率$i$.
名义贴现率：通过$1-d=(1-\frac{d^{(m)}}{m})^m$可求得每期实际贴现率$d$.
公式：
$$(1+\frac{i^{(m)}.}{m})^m=1+i=(1-\frac{d^{(p)}}{p})^{-p}=\frac1{1-d}$$
利息力
利息力用来度量在每一时点上的利息
公式：$a(t)=e^{\int_0^t \delta_t dt}$
现在，用一个公式对以上内容做一个总结，如下：
$$(1+\frac{i^{(m)}.}{m})^m=1+i=v^{-1}=(1-d)^{-1}=(1-\frac{d^{(p)}.}{p})^{(-p)}=e^{\delta}$$
注意这里的利息力(贴现力)是常数.
课本习题
5．已知某笔投资在三年后的积累值为为1000元，第一年的利率为$i_1=$10%，第二年的利率为$i_2=$8%，第三年的利率为$i_3=$6%，求该笔投资的原始金额.
解：$A(0)(1+i_1)(1+i_2)(1+i_3)=1000–>A(0)$
13．假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在$t$时刻的利息力为$\delta_t=\frac{3+2t}{50}$，其中$t$为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在1985年1月1日的积累值.
解：$1000e^{\int_\frac12^1\delta_tdt}$
14．某基金$A$以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金$B$以利息强度$\delta_t=\frac{t}6$积累，在时刻0，两笔基金存入的款项相同，请确定两基金额相等的下一时刻.
解：$1.(1+\frac{0.12}{12})^{12n}=1.e^{\int_0^n\frac{t}{6}dt}–>n$
