在进入正题之前，先来看一道题目.
[引例] 设$f(0)=0$，且$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(1-cos h)}{h^2}$存在，则$f’(0)$存在吗?
解：
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(1-cos h)}{h^2}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+(1-cos h))-f(0)}{h^2}=\frac12\ lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+(1-cos h))-f(0)}{\frac{h^2}{2}}=lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+(1-cos h))-f(0)}{(1-cos h)-0}$
令$1-cos h=t$,
则当$h\rightarrow0$时，$cos h\rightarrow1^-$(因为$|cos h|<=1$，所以只能从1的左侧趋近于１)，从而$1-cos h\rightarrow0^+$，即$t\rightarrow0^+$
所以$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(1-cos h)}{h^2}=lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+(1-cos h))-f(0)}{(1-cos h)-0}=lim_{t\rightarrow0^+}\frac{f(0+t)-f(0)}{t-0}$存在（这是题干已知条件）
由极限的定义可知，$f(x)$在$x=0$处的右极限存在，即$f^{‘+}(0)$存在
但是，$f(x)$在$x=0$处的左极限是否存在
呢？根据当前已知的条件，我们无从得知，从而就不能确定$f(x)$在$x=0$处的导数是否存在（这里是根据导数的定义：只有当左右导数同时存在且相等时，才能确定该函数在该点的导数是存在的）.
看完上面的引例，来进入正题！
[题目]计算极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx\sqrt{cosx}}{x^2}$
解
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx\sqrt(cosx)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-cosx)+(cosx-cosx\sqrt{cosx})}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx}{x^2}+\lim_{x\rightarrow0}\frac{cosx(1-\sqrt{consx})}{x^2}$
第一部分直接利用等价无穷小，得$\frac12$.
第二部分利用极限的四则运算法则，有
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{cosx(1-\sqrt{cosx})}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}{cosx}.\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\sqrt{cosx}}{x^2}\=1.\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-cosx}{x^2(1+\sqrt{cosx})}=\lim_{x\rightarrow0}(\frac1{1+\sqrt{cosx})}\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx}{x^2}}\=\frac12{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx}{x^2}}=\frac14$
所以最终结果为$\frac12+\frac14=\frac34$
现在，我们采用另外一种方法求解上题
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx\sqrt{cosx}}{x^2}=\frac12\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx\sqrt{cosx}}{1-cosx}$
到这里一切正常
继续
令$cosx=t$，由于$x\rightarrow0$时，$cosx\rightarrow1^-$（因为｜cosx｜<=1,所以只能从１的左侧趋近于１），即$t\rightarrow1^-$，从而上式可化为
$$\frac12\lim_{t\rightarrow1^-}\frac{1-t\sqrt{t}}{1-t}=\frac12\lim_{t\rightarrow1^-}\frac{1-t^{\frac32}}{1-t}$$
最后利用洛必达法则计算得到结果为$\frac34$
我的疑问：这里只计算出来了左极限存在为一个数，右极限不确定，类比刚开始的引例，那么以上过程是错误的吗？
这里的$\frac{1-t^{\frac32}}{1-t}$是初等函数，书上说初等函数在其定义区间（定义域内的任意一小区间，包含于定义域）上连续，而此函数的定义域为$cosx>=0且cosx!=1$，也就是$t>=0且t!=1$ 。
现在$t\rightarrow1^-$,而$1$是断点，不在定义区间上。（解惑：极限是在去心邻域定义的，这个不影响）
解惑：以上过程没毛病，当$t\rightarrow1^-$时，$x$可以从两侧趋近于０，$x$的双侧极限值都等于$t$的单侧极限值，可以把$x$的两侧极限都求解一下来验证这一点.：
利用第一种解法中的一步，即$\frac12{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cosx}{x^2}}$，不论$x\rightarrow0^+$还是$x\rightarrow0^-$，由于它是偶函数，所以结果都是一样的。
一般的，我们需要讨论左右侧极限的题目类型如下：
1.分段函数，无论连续不连续，都一定得分左右证明
2.连续性问题，证明连续性
3.定积分时，若是广义积分、暇积分，不得不考虑单侧极限。是积分积出来之后才考虑单侧极限。
所以，快滚去看课本！
